Detail předmětu
Základy variačního počtu
Akademický rok 2023/24
NAB018 předmět zařazen v 1 studijním plánu
NPC-SIV letní semestr 1. ročník
Základy variačních metod, aplikace na řešení diferenciálních rovnic.
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Cíl
Seznámit studenty se základními pojmy funkcionální analýzy, které jsou potřebné pro pochopení základních principů variačního počtu a numerického řešení počátečních a okrajových úloh.
Znalosti
Studenti získají přehled o pokročilých metodách analýzy (základy funkcionální analýzy, derivace funkcionálu, věty o pevných bodech),
metodách variačního počtu a o některých metodách numerického řešení úloh pro parciální diferenciální rovnice.
metodách variačního počtu a o některých metodách numerického řešení úloh pro parciální diferenciální rovnice.
Osnova
1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.
2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.
Prerekvizity
Základní kurzy matematiky v BSP.
Jazyk studia
čeština
Kredity
5 kreditů
semestr
letní
Způsob a kritéria hodnocení
zápočet a zkouška
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Nabízet zahraničním studentům
Nenabízet
Předmět na webu VUT
Přednáška
13 týdnů, 2 hod./týden, nepovinné
Osnova
1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.
Cvičení
13 týdnů, 2 hod./týden, povinné
Osnova
Navazuje přímo na jednotlivé přednášky.
1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.