Detail předmětu

Matematika 5 (S)

NAA019 předmět zařazen ve 3 studijních plánech

Ing. prez. program NPC-SIS povinný zimní semestr 1. ročník 4 kredity

Ing. prez. program NPA-SIS povinný zimní semestr 1. ročník 4 kredity

Ing. kombin. program NKC-SIS povinný zimní semestr 1. ročník 4 kredity

Základy numerické matematiky, zejména interpolace a aproximace funkcí, numerické derivování a integrování, řešení algebraických a diferenciálních rovnic a jejich soustav.

Garant předmětu

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie

Výsledky učení předmětu

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy numerické matematiky, aby ji byli schopni využít v technických aplikacích.

Prerekvizity

Základní kurzy matematiky v BSP, programování v jazyku MATLAB (v rozsahu volitelného kurzu na ústavu MAT).

Korekvizity

Nejsou požadovány.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT - přednášky, cvičení.

Způsob a kritéria hodnocení

Hodnocení práce na samostatných zadáních, průběžné testy, zkouška ve formě závěrečného písemného testu.

Cíl

Pochopit základní principy numerických výpočtů a seznámit se s faktory, které ovlivňují numerické výpočty. Umět řešit vybrané základní úlohy numerické matematiky. Pochopit princip iteračních metod řešení rovnice f(x)=0 a systémů lineárních algebraických rovnic, zvládnout výpočetní algoritmy. Seznámit se s problematikou interpolace a aproximace funkcí a naučit se úlohy prakticky řešit. Znát principy numerické derivace a umět numericky řešit okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Naučit se numerickým výpočtům integrálů.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Přednáška

2 hod./týden, 13 týdnů, nepovinné

Osnova přednášek

1. Chyby v numerických výpočtech. Kontraktivní zobrazení, aplikace na řešení nelineárních algebraických rovnic: metoda prosté iterace, Newtonova metoda, metoda sečen.
2. Přímé metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, zejména multiplikativní rozklady: LU rozklad, Choleského rozklad, princip QR rozkladu.
3. Iterační a relaxační metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic, zejména Jacobiho a Gaussova-Seidelova metoda včetně relaxace.
4. Metoda sdružených gradientů, zejména pro soustavy lineárních algebraických rovnic. Newtonova metoda pro nelineární soustavy.
5. Podmíněnost soustav rovnic. Metoda nejmenších čtverců: princip, diskrétní případ.
6. Lagrangeův interpolační polynom, zejména Newtonův tvar. Hermiteův interpolační polynom.
7. Kubické splajny: princip pro lagrangeovské splajny, výpočty pro hermiteovské splajny.
8. Numerické derivování. Metoda konečných diferencí, aplikace na okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu.
9. Numerické integrování: obdélníkové, lichoběžníkové a Simpsonovo pravidlo včetně odhadu chyby aproximace. Princip vícerozměrného numerického integrování.
10. Metoda konečných prvků, aplikace na okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu.
11. Časově závislé úlohy: Eulerova implicitní a explicitní metoda, metoda Crankova-Nicolsonové a Rungeho-Kuttovy metody, aplikace na počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu.
12. Pokračování a dokončení předchozích témat, poznámky k inženýrským aplikacím.
13. Metoda konečných prvků pro parciální diferenciální rovnice, příklad rovnice přenosu tepla.

Cvičení

1 hod./týden, 13 týdnů, povinné

Osnova cvičení

1.-2. Úvod do MATLABu: prostředí MATLABu, MATLAB online, přiřazování do proměnných, dvojtečka, operace s čísly a vektory, kreslení, komentáře, nápověda MATLABu, cyklus for-end a podmínka if-else-end. Zadání individuální semestrální práce.
3.-4. Opakování metod pro řešení 1 nelineární rovnice: graf funkce a odhad kořene, skript pro 1 konkrétní příklad a metodu bisekce, zobecnění pro libovolnou funkci a počáteční vstupy (for, if, plot, anonymní funkce).
5.-7. Implementace iteračních metod pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic: operace s maticemi (*, .*, +, inv, det, size a podobné), norma vektoru, tvorba řešiče pro soustavu s dolní trojúhelníkovou maticí, pomocí něj tvorba skriptu pro Gaussovu-Seidelovu metodu v maticovém zápisu, vytvoření funkce včetně ověření vstupů (diagonální dominance apod.).
8.-9. Aproximace funkcí: metoda nejmenších čtverců maticově, využití připravené Gaussovy-Seidelovy iterace pro řešení normální rovnice, Lagrangeova interpolace – tvar polynomu a nalezení koeficientů, možná vazba na numerické integrování složeným lichoběžníkovým pravidlem.
11.-12. Obyčejné diferenciální rovnice: explicitní a implicitní Eulerova metoda pro řád 1, metoda konečných diferencí pro řád 2, využití připraveného řešiče soustav lineárních algebraických rovnic, porovnání s metodou konečných prvků.
13. Zhodnocení semestrální práce.