Detail předmětu

Matematika III

Akademický rok 2022/23

GA05 předmět zařazen ve 2 studijních plánech

B-P-C-GK zimní semestr 1. ročník

B-K-C-GK zimní semestr 1. ročník

Dvojný a trojný integrál, základní vlastnosti a výpočet. Transformace dvojného a trojného integrálu a jejich aplikace.
Křivkový integrál 1.a 2.druhu, základní vlastnosti a výpočet. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Greenova věta.
Obyčejné diferenciální rovnice (DR) prvního řádu, existence a jednoznačnost řešení. DR se separovanými proměnnými, homogenní, lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie, obálka soustavy křivek. Lineární DR n-tého řádu, obecné řešení, základní vlastnosti řešení. Lineární DR s konstantními koeficienty.

Garant předmětu

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie

Cíl

Seznámit se s dvojnými a trojnými integrály a jejich základními aplikacemi, zvládnout počítání těchto integrálů pomocí Fubiniových vět a standardních transformací.
Seznámit se s křivkovými integrály ve skalárním a vektorovém poli a jejich aplikacemi. Zvládnout výpočet jednoduchých křivkových integrálů.
Seznámit se s vybranými diferenciálními rovnicemi (DR) prvního řádu, problematikou existence a jednoznačnosti řešení DR. Naučit se analyticky řešit DR separovanou, lineární, homogenní prvního řádu, exaktní. Zvládnout kalkul řešení nehomogenní lineární DR n-tého řádu se speciální pravou stranou i obecnou metodu variace konstant. Pochopit strukturu řešení nehomogenních lineárních DR n-tého řádu. Pochopit problematiku ortogonálních a izogonálních trajektorií.

Znalosti

Student zvládne hlavní cíle předmětu. Naučí se řešit dvojné a trojné integrály pomocí Fubiniových vět a standardních transformací. Zvládne výpočet jednoduchých křivkových integrálů ve skalárním i vektorovém poli. Naučí se analyticky řešit diferenciální rovnice prvního řádu (separovanou, lineární, homogenní, exaktní). Zvládne kalkul řešení nehomogenní lineární DR n-tého řádu se speciální pravou stranou i obecnou metodu variace konstant.

Osnova

1. Definice dvojného (trojného) integrálu, jeho základní vlastnosti. Výpočet dvojného integrálu.
2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu.
3. Výpočet a transformace trojného integrálu.
4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu.
5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace).
6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), křivkový integrál ve vektorovém poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet).
7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace.
8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti.
9. Diferenciální rovnice (dále DR), základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení DR y´= f(x,y). DR prvního řádu - separovaná, homogenní.
10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie.
11. Lineární DR n-tého řádu (dále LDR n-tého řádu), lineární nezávislost řešení, wronskián, struktura řešení.
12. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
13. Dokončení přednášky. Metoda variace konstant.

Prerekvizity

Ovládat elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné a více reálných proměnných (derivace, parciální derivace, limita a spojitost, grafy fukcí).
Umět řešit integrály funkce jedné reálné proměnné, znát jejich základní aplikace.

Jazyk výuky

čeština

Kredity

5 kreditů

semestr

zimní

Způsob a kritéria hodnocení

zápočet a zkouška

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Nabízet zahraničním studentům

Nenabízet

Předmět na webu VUT

https://www.vut.cz/studenti/predmety/detail/252931

Přednáška

13 týdnů, 2 hod./týden, nepovinné

Osnova

1. Definice dvojného (trojného) integrálu, jeho základní vlastnosti. Výpočet dvojného integrálu.
2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu.
3. Výpočet a transformace trojného integrálu.
4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu.
5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace).
6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), křivkový integrál ve vektorovém poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet).
7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace.
8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti.
9. Diferenciální rovnice (dále DR), základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení DR y´= f(x,y). DR prvního řádu - separovaná, homogenní.
10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie.
11. Lineární DR n-tého řádu (dále LDR n-tého řádu), lineární nezávislost řešení, wronskián, struktura řešení.
12. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
13. Dokončení přednášky. Metoda variace konstant.

Cvičení

13 týdnů, 2 hod./týden, povinné

Osnova

1. Základní vlastnosti dvojného (trojného) integrálu. Výpočet dvojného integrálu.
2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu.
3. Výpočet a transformace trojného integrálu.
4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu.
5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace).
6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), výpočet křivkového integrálu ve vektorovém poli.
7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace.
8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti.
9. Diferenciální rovnice (dále DR), DR prvního řádu - separovaná, homogenní.
10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie.
11. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty.
12. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
13. Metoda variace konstant. Zápočty.