Detail předmětu

Základy variačního počtu

Akademický rok 2022/23

CA058 předmět zařazen ve 3 studijních plánech

N-P-C-SI (N) letní semestr 1. ročník

N-K-C-SI (N) letní semestr 1. ročník

N-P-E-SI (N) letní semestr 1. ročník

Prostory funkcí, pojem funkcionálu, první a druhá derivace funkcionálu, Eulerovy a Lagrangeovy podmínky, silná a slabá konvergence, klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů (příklady z mechaniky stavebních konstrukcí), numerické řešení počátečních a okrajových úloh, Ritzova a Galerkinova metoda, metoda konečných prvků, přehled dalších variačních metod, prostorová a časová diskretizace evolučních úloh.

Garant předmětu

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie

Cíl

Seznámit studenty se základními pojmy funkcionální analýzy, které jsou potřebné pro pochopení základních principů variačního počtu a numerického řešení počátečních a okrajových úloh.

Znalosti

Studenti získají přehled o pokročilých metodách analýzy (základy funkcionální analýzy, derivace funkcionálu, věty o pevných bodech),
metodách variačního počtu a o některých metodách numerického řešení úloh pro parciální diferenciální rovnice.

Osnova

1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.

Prerekvizity

Znalost základů teorie funkce jedné a více proměnných. Umět derivovat a integrovat funkce jedné a více proměnných.

Jazyk výuky

čeština

Kredity

5 kreditů

semestr

letní

Způsob a kritéria hodnocení

zápočet a zkouška

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Nabízet zahraničním studentům

Nenabízet

Předmět na webu VUT

https://www.vut.cz/studenti/predmety/detail/255814

Přednáška

13 týdnů, 2 hod./týden, nepovinné

Osnova

1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.

Cvičení

13 týdnů, 2 hod./týden, povinné

Osnova

Navazuje přímo na jednotlivé přednášky.
1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.