Detail předmětu
Matematika 5 (S)
Akademický rok 2023/24
CA001 předmět zařazen ve 4 studijních plánech
N-P-C-SI (N) / S zimní semestr 1. ročník
N-P-C-SI (N) / S zimní semestr 1. ročník
N-P-C-SI (N) / S zimní semestr 1. ročník
N-K-C-SI (N) / S zimní semestr 1. ročník
Chyby v numerických výpočtech. Řešení transcendentních rovnic pro jednu a více neznámých iteračními metodami. Interpolace a aproximace funkce. Numerické derivování, numerická integrace a jejich aplikace pro řešení okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice.
Aplikace podle zaměření oboru.
Aplikace podle zaměření oboru.
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Cíl
Pochopit základní principy numerických výpočtů a seznámit se s faktory, které ovlivňují numerické výpočty. Umět řešit vybrané základní úlohy numerické matematiky. Pochopit princip iteračních metod řešení rovnice f(x)=0 a systémů lineárních algebraických rovnic, zvládnout výpočetní algoritmy. Seznámit se s problematikou interpolace a aproximace funkcí a naučit se úlohy prakticky řešit. Znát principy numerické derivace a umět numericky řešit okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Naučit se numerickým výpočtům integrálů.
Znalosti
Výstupem předmětu jsou znalosti a schopnosti, které studentům umožní pochopení základních numerických úloh a myšlenek, na nichž jsou založeny algoritmy jejich řešení. Ve své bodoucí praxi v oboru svého studia budou schopni posoudit použitelnost numerických metod pro řešení technických problémů a efektivně používat existujících univerzálních programových systémů pro řešení základních typů numerických úloh i jejich budoucích zdokonalení.
Osnova
1. Chyby v numerických výpočtech, metoda půlení a metoda prosté iterace pro řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou
2. Metoda prosté iterace, Newtonova metoda a její modifikace pro řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou
3. Normy matic a vektorů, výpočet matice inverzní
4. Řešení systémů lineárních rovnic se speciálními maticemi a číslo podmíněnosti matice
5. Iterační metody řešení systémů lineárních rovnic
6. Metody řešení systémů nelineárních rovnic
7. Lagrangeova interpolace polynomy a kubickými splajny, Hermiteova interpolace polynomy a Hermiteovými interpolačními kubickými splajny
8. Diskrétní metoda nejmenších čtverců, numerické derivování
9. Klasická formulace okrajové úlohy pro ODR 2. řádu a její aproximace metodou sítí
10.Numerická integrace. Variační formulace okrajové úlohy pro ODR 2. řádu
11.Diskretizace variační úlohy pro ODR 2. řádu metodou konečných prvků
12.Klasická a variační formulace okrajové úlohy pro ODR 4. řádu
13.Diskretizace variační úlohy pro ODR 4. řádu metodou konečných prvků
2. Metoda prosté iterace, Newtonova metoda a její modifikace pro řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou
3. Normy matic a vektorů, výpočet matice inverzní
4. Řešení systémů lineárních rovnic se speciálními maticemi a číslo podmíněnosti matice
5. Iterační metody řešení systémů lineárních rovnic
6. Metody řešení systémů nelineárních rovnic
7. Lagrangeova interpolace polynomy a kubickými splajny, Hermiteova interpolace polynomy a Hermiteovými interpolačními kubickými splajny
8. Diskrétní metoda nejmenších čtverců, numerické derivování
9. Klasická formulace okrajové úlohy pro ODR 2. řádu a její aproximace metodou sítí
10.Numerická integrace. Variační formulace okrajové úlohy pro ODR 2. řádu
11.Diskretizace variační úlohy pro ODR 2. řádu metodou konečných prvků
12.Klasická a variační formulace okrajové úlohy pro ODR 4. řádu
13.Diskretizace variační úlohy pro ODR 4. řádu metodou konečných prvků
Prerekvizity
Ovládat elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné (derivace, limita a spojitost, elementární funkce). Umět řešit integrály funkce jedné reálné proměnné, znát jejich základní aplikace.
Jazyk studia
čeština
Kredity
4 kredity
semestr
zimní
Způsob a kritéria hodnocení
zápočet a zkouška
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Nabízet zahraničním studentům
Nenabízet
Předmět na webu VUT
Přednáška
13 týdnů, 2 hod./týden, nepovinné
Osnova
1. Chyby v numerických výpočtech. Kontraktivní zobrazení, aplikace na řešení nelineárních algebraických rovnic: metoda prosté iterace, Newtonova metoda, metoda sečen.
2. Přímé metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, zejména multiplikativní rozklady: LU rozklad, Choleského rozklad, princip QR rozkladu.
3. Iterační a relaxační metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic, zejména Jacobiho a Gaussova-Seidelova metoda včetně relaxace.
4. Metoda sdružených gradientů, zejména pro soustavy lineárních algebraických rovnic. Newtonova metoda pro nelineární soustavy.
5. Podmíněnost soustav rovnic. Metoda nejmenších čtverců: princip, diskrétní případ.
6. Lagrangeův interpolační polynom, zejména Newtonův tvar. Hermiteův interpolační polynom.
7. Kubické splajny: princip pro lagrangeovské splajny, výpočty pro hermiteovské splajny.
8. Numerické derivování. Metoda konečných diferencí, aplikace na okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu.
9. Numerické integrování: obdélníkové, lichoběžníkové a Simpsonovo pravidlo včetně odhadu chyby aproximace. Princip vícerozměrného numerického integrování.
10. Metoda konečných prvků, aplikace na okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu.
11. Časově závislé úlohy: Eulerova implicitní a explicitní metoda, metoda Crankova-Nicolsonové a Rungeho-Kuttovy metody, aplikace na počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu.
12. Pokračování a dokončení předchozích témat, poznámky k inženýrským aplikacím.
13. Metoda konečných prvků pro parciální diferenciální rovnice, příklad rovnice přenosu tepla.
Cvičení
13 týdnů, 1 hod./týden, povinné
Osnova
1.-2. Úvod do MATLABu: prostředí MATLABu, MATLAB online, přiřazování do proměnných, dvojtečka, operace s čísly a vektory, kreslení, komentáře, nápověda MATLABu, cyklus for-end a podmínka if-else-end. Zadání individuální semestrální práce.
3.-4. Opakování metod pro řešení 1 nelineární rovnice: graf funkce a odhad kořene, skript pro 1 konkrétní příklad a metodu bisekce, zobecnění pro libovolnou funkci a počáteční vstupy (for, if, plot, anonymní funkce).
5.-7. Implementace iteračních metod pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic: operace s maticemi (*, .*, +, inv, det, size a podobné), norma vektoru, tvorba řešiče pro soustavu s dolní trojúhelníkovou maticí, pomocí něj tvorba skriptu pro Gaussovu-Seidelovu metodu v maticovém zápisu, vytvoření funkce včetně ověření vstupů (diagonální dominance apod.).
8.-9. Aproximace funkcí: metoda nejmenších čtverců maticově, využití připravené Gaussovy-Seidelovy iterace pro řešení normální rovnice, Lagrangeova interpolace – tvar polynomu a nalezení koeficientů, možná vazba na numerické integrování složeným lichoběžníkovým pravidlem.
11.-12. Obyčejné diferenciální rovnice: explicitní a implicitní Eulerova metoda pro řád 1, metoda konečných diferencí pro řád 2, využití připraveného řešiče soustav lineárních algebraických rovnic, porovnání s metodou konečných prvků.
13. Zhodnocení semestrální práce.