Detail předmětu
Matematika IV
Akademický rok 2022/23
HA01 předmět zařazen v 1 studijním plánu
N-P-C-GK / GD zimní semestr 1. ročník
Funkce komplexní proměnné, limita, spojitost a derivace. Cauchy-Riemannovy podmínky, analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
Rovinné křivky. Prostorové křivky, křivost a torse, Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce.
Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy, první základní forma plochy a její užití. Druhá základní forma plochy, normálová a geodetická křivost plochy. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše, střední a totální křivost plochy, eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy.
Rovinné křivky. Prostorové křivky, křivost a torse, Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce.
Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy, první základní forma plochy a její užití. Druhá základní forma plochy, normálová a geodetická křivost plochy. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše, střední a totální křivost plochy, eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy.
Kredity
4 kredity
Jazyk studia
čeština
semestr
zimní
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Způsob a kritéria hodnocení
zápočet a zkouška
Vstupní znalosti
Student zvládne hlavní cíle předmětu. Naučí se derivovat funkce komplexní proměnné a pracovat s analytickou funkcí. Seznámí se s konformními zobrazeními realizovanými analytickou funkcí. Naučí se pracovat s prostorovými křivkami, počítat křivost, torsi, Frenetův trojhran. Naučí se používat první i druhou základní formou plochy k řešení úloh diferenciální geometrie. Seznámí se s pojmy normálová a geodetická křivost plochy, křivoznačné a asymptotické křivky na ploše, střední a totální křivost plochy, eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy a naučí se počítat vybrané typy příkladů.
Učební cíle
Pochopit základní pojmy funkce komplexní proměnné. Seznámit se s geometrickým významem pojmů.
Pochopení základních pojmů diferenciální geometrie prostorových křivek a ploch.
Pochopení základních pojmů diferenciální geometrie prostorových křivek a ploch.
Základní literatura
ERWIN KREYSZIG: Differential geometry. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1957. (en)
S.P.FINIKOV: Diferencialnaja geometrija. Moskva, 1961. (ru)
DIRK J. STRUIK. Lectures on classical differential geometry. Dover Publications, 1988 (en)
S.P.FINIKOV: Diferencialnaja geometrija. Moskva, 1961. (ru)
DIRK J. STRUIK. Lectures on classical differential geometry. Dover Publications, 1988 (en)
Doporučená literatura
DLOUHÝ O., TRYHUK V.: Vybrané části funkce komplexní proměnné a diferenciální geometrie. FAST VUT v Brně, 2010. [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] (cs)
Osnova
1. Komplexní čísla, základní operace, zobrazení, n-tá odmocnina. Funkce komplexní proměnné.
2. Limita, spojitost, derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky.
3. Analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
4. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
5. Křivky v rovině, singulární body křivky.
6. Prostorové křivky, křivost a torse.
7. Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce.
8. Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy.
9. První základní forma plochy a její užití.
10. Druhá základní forma plochy. Normálová a geodetická křivost plochy. Meusnierova věta.
11. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše.
12. Střední a totální křivost plochy.
13. Eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy.
2. Limita, spojitost, derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky.
3. Analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
4. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
5. Křivky v rovině, singulární body křivky.
6. Prostorové křivky, křivost a torse.
7. Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce.
8. Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy.
9. První základní forma plochy a její užití.
10. Druhá základní forma plochy. Normálová a geodetická křivost plochy. Meusnierova věta.
11. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše.
12. Střední a totální křivost plochy.
13. Eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy.
Prerekvizity
Základní znalosti komplexních čísel v rozsahu střední školy.
Znát základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné. Ovládat derivování funkci.
Znát základní pojmy diferenciálního počtu funkce dvou a více proměnných. Umět parciální derivování funkcí více proměnných.
Znát základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné. Ovládat derivování funkci.
Znát základní pojmy diferenciálního počtu funkce dvou a více proměnných. Umět parciální derivování funkcí více proměnných.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Nabízet zahraničním studentům
Nenabízet
Předmět na webu VUT
Přednáška
13 týdnů, 2 hod./týden, nepovinné
Osnova
1. Komplexní čísla, základní operace, zobrazení, n-tá odmocnina. Funkce komplexní proměnné.
2. Limita, spojitost, derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky.
3. Analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
4. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
5. Křivky v rovině, singulární body křivky.
6. Prostorové křivky, křivost a torse.
7. Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce.
8. Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy.
9. První základní forma plochy a její užití.
10. Druhá základní forma plochy. Normálová a geodetická křivost plochy. Meusnierova věta.
11. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše.
12. Střední a totální křivost plochy.
13. Eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy.
2. Limita, spojitost, derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky.
3. Analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
4. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
5. Křivky v rovině, singulární body křivky.
6. Prostorové křivky, křivost a torse.
7. Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce.
8. Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy.
9. První základní forma plochy a její užití.
10. Druhá základní forma plochy. Normálová a geodetická křivost plochy. Meusnierova věta.
11. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše.
12. Střední a totální křivost plochy.
13. Eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy.
Cvičení
13 týdnů, 2 hod./týden, povinné
Osnova
1. Komplexní čísla, základní operace, zobrazení, n-tá odmocnina. Funkce komplexní proměnné.
2. Limita, spojitost, derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky.
3. Analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
4. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
5. Křivky v rovině, singulární body křivky.
6. Prostorové křivky, křivost a torse.
7. Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce.
8. Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy.
9. První základní forma plochy a její užití.
10. Druhá základní forma plochy. Normálová a geodetická křivost plochy. Meusnierova věta.
11. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše.
12. Střední a totální křivost plochy.
13. Eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy. Zápočty.
2. Limita, spojitost, derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky.
3. Analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
4. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
5. Křivky v rovině, singulární body křivky.
6. Prostorové křivky, křivost a torse.
7. Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce.
8. Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy.
9. První základní forma plochy a její užití.
10. Druhá základní forma plochy. Normálová a geodetická křivost plochy. Meusnierova věta.
11. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše.
12. Střední a totální křivost plochy.
13. Eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy. Zápočty.