Teoretické otázky z pravděpodobnosti

1. Vysvětlete následující pojmy: pokus, náhodný vektor, obor hodnot náhodného vektoru, realizace náhodného vektoru, náhodná veličina. Uveďte příklad.

2. Definujte diskrétní náhodnou veličinu (s pravděpodobnostní funkcí g). Uveďte tři příklady diskrétní náhodné veličiny.

3. Definujte spojitou náhodnou veličinu (s hustotou g). Uveďte tři příklady spojité náhodné veličiny.

4. Jak je definována pravděpodobnost. Uveďte vlastnosti pravděpodobnosti a dvě z nich "odvoďte".

5. Definujte distribuční funkci náhodné veličiny. Uveďte její vlastnosti a 2 z nich "odvoďte".

6. "Odvoďte" vztahy mezi distribuční funkcí G a rozdělovací funkcí g náhodné veličiny X. Vyjádřete pomocí distribuční funkce G ve spojitém i diskrétním případě. Platí vždy ? Je výhodnější počítat pravděpodobnost pomocí distribuční funkce než hustoty? Pokud ano, napište proč a uveďte příklad.

7. Definujte a vysvětlete pojem nezávislosti náhodných veličin X a Y. Vysvětlete výpočet marginálního rozdělení, když znáte simultánní rozdělení.

8. Definujte střední hodnotu E(X) náhodné veličiny X. Co udává E(X) z hlediska realizací náhodné veličiny X? Co můžete říci o náhodné veličině X, když E(X)=-1? Když platí E(X)=E(Y), chovají se obě veličiny z pravděpodobnostního hlediska stejně? Když ano, proč - když ne, proč? Normujte náhodnou veličinu X, když víte, že E(X)=-3, D(X)=4.

9. Jak je definován a jak počítáme rozptyl D(X) náhodné veličiny X? Co udává D(X) z hlediska realizací náhodné veličiny X? Co můžete říci, když D(X)=-1? Určuje D(X) jednoznačně pravděpodobnostní chování náhodné veličiny X? Jak je definovaná směrodatná odchylka náhodné veličiny X?

10. Uveďte větu o střední hodnotě transformovaného náhodného vektoru. Napište její význam. Uveďte základní pravidla pro výpočet střední hodnoty a rozptylu. Víte, že D(X)=1 a D(Y)=4, lze vypočítat D(X+Y)?

11. Definujte 100p procentní kvantil náhodné veličiny X. Co udává 100p procentní kvantil z hlediska realizací náhodné veličiny X? Znázorněte graficky 100p procentní kvantil, když znáte distribuční resp. rozdělovací funkci náhodné veličiny X.

12. Definujte kovarianci a korelační koeficient, uveďte jejich vlastnosti a vysvětlete jejich význam.

13. Definujte normální rozdělení a uveďte jeho význam. Načrtněte graf hustoty normálního rozdělení. Napište vlastnosti normálního rozdělení. Musíte počítat hodnoty distribuční funkce ? Když ne, uveďte, jak postupujete.

Teoretické otázky z matematické statistiky

1. Definujte a vysvětlete následující pojmy: náhodný výběr, realizace náhodného výběru, výběrový prostor. Uveďte příklad.
2. Definujte statistiku, (bodový) odhad parametru rozdělení a jejich realizace. Jaký je rozdíl mezi statistikou a bodovým odhadem parametru?
3. Definujte nestranný odhad parametru. Co můžete říci o realizacích nestranného odhadu? Máme-li dva nestranné odhady parametru, který si vybere? Co to je nejlepší nestranný odhad parametru?
4. Definujte 100 procentní intervalový odhad parametru a jeho realizaci. Co můžete říci o realizacích 100 procentního intervalového odhadu? Má smysl hledat 50 procentní intervalový odhad? Uveďte a zdůvodněte použití horního a dolního intervalového odhadu.
5. Uveďte podstatu testování statistických hypotéz - co to je statistická hypotéza, test st. hypotézy, testovací kritérium, kritický obor a jak jej volíme.
6. Jakých chyb se můžeme dopustit - definice, interpretace. Co to je hladina významnosti testu a síla testu.
7. Jak postupujeme při řešení konkrétních úloh na testování statistických hypotéz?