English

Katalog předmětů

Identifikace

KódCA058
NázevZáklady variačního počtu
Course nameBasics of Calculus of Variations

Zařazení

Zařazení ve studijních programech

Rozsah výuky

Přednášky2 [hodiny/týden], nepovinná
Cvičení2 [hodiny/týden], povinná

Zabezpečení výuky

ÚstavÚstav matematiky a deskriptivní geometrie
GarantJiří Vala

Obsahové informace

Seznámit studenty se základními pojmy funkcionální analýzy, které jsou potřebné pro pochopení základních principů variačního počtu a numerického řešení počátečních a okrajových úloh.
En
Prostory funkcí, pojem funkcionálu, první a druhá derivace funkcionálu, Eulerovy a Lagrangeovy podmínky, silná a slabá konvergence, klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů (příklady z mechaniky stavebních konstrukcí), numerické řešení počátečních a okrajových úloh, Ritzova a Galerkinova metoda, metoda konečných prvků, přehled dalších variačních metod, prostorová a časová diskretizace evolučních úloh.

Harmonogram přednášky

  • 1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
  • 2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
  • 3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
  • 4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
  • 5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
  • 6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
  • 7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
  • 8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
  • 9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
  • 10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
  • 11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
  • 12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
  • 13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
  • 14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.

Harmonogram cvičení

  • Navazuje přímo na jednotlivé přednášky.
  • 1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
  • 2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
  • 3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
  • 4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
  • 5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
  • 6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
  • 7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
  • 8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
  • 9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
  • 10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
  • 11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
  • 12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
  • 13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
  • 14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.
Znalost základů teorie funkce jedné a více proměnných. Umět derivovat a integrovat funkce jedné a více proměnných.

Základní literatura předmětu

BOUCHALA, JIŘÍ: Variační metody, Ostrava: VŠB, 2012
COSTA, David G.: An Invitation to Variational Methods in Differential Equations, Boston: Birkhäuser, 2007

Doporučená literatura ke studiu předmětu

KUREŠ, Miroslav: Variační počet, Brno: PC-DIR Real, 2000