English

Katalog předmětů

Identifikace

KódBA001
NázevMatematika 1
Course nameMathematics 1

Zařazení

Zařazení ve studijních programech

Rozsah výuky

Přednášky2 [hodiny/týden], nepovinná
Cvičení3 [hodiny/týden], povinná

Zabezpečení výuky

ÚstavÚstav matematiky a deskriptivní geometrie
GarantIrena Hinterleitner

Obsahové informace

Pochopení základních pojmů diferenciálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Umět derivovat a řešit úlohu průběhu funkce.
Mít schopnost počítat s maticemi, umět provádět elementární úpravy a vyčíslení determinantů, umět řešit soustavy lineárních algebraických rovnic, zvládnout Gaussovu eliminační metodu řešení soustav.
Projít základní numerické metody probíraných témat.
Reálná funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita a spojitost funkce. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, základní věty o derivacích, derivace vyšších řádů, diferenciály funkce, Taylorův rozvoj funkce, průběh funkce.
Lineární algebra (základy maticového počtu, hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, inverze matic, determinanty a jejich aplikace). Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Základy vektorového počtu. Lineární prostory. Analytická geometrie (skalární, vektorový a smíšený součin vektorů, afinní a metrické úlohy pro lineární útvary v prostoru).
Základní numerické metody (interpolace, řešení nelineární rovnice a systémů lineárních rovnic, derivování).

Harmonogram přednášky

  • 1. Reálná funkce jedné reálné proměnné, explicitní a parametrické zadání funkce. Složená a inverzní funkce.
  • 2. Některé elementární funkce, cyklometrické funkce. Hyperbolické funkce. Polynom a jeho základní kořenové vlastnosti, rozklad polynomu v reálném oboru.
  • 3. Racionální funkce. Posloupnost a její limita.
  • 4. Limita a spojitost funkce, základní věty. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, pravidla pro derivování.
  • 5. Derivace složené a inverzní funkce. Diferenciál funkce. Rolleova a Lagrangeova věta.
  • 6. Derivace vyšších řádů, diferenciály vyšších řádů. Taylorova věta.
  • 7. L`Hospitalovo pravidlo. Asymptoty grafu funkce. Průběh funkce.
  • 8. Základy maticového počtu, elementární úpravy matice, hodnost matice. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou.
  • 9. Determinanty druhého řádu. Definice determinantů vyšších řádů pomocí Laplaceova rozvoje. Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic.
  • 10. Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. Maticové rovnice. Reálný lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru. Lineární prostory aritmetických a geometrických vektorů.
  • 11. Vlastní čísla a vektory matice. Souřadnice vektoru. Skalární a vektorový součin vektorů, počítání v souřadnicích.
  • 12. Smíšený součin vektorů. Rovina a přímka v prostoru, úlohy polohy.
  • 13. Úlohy metrické. Plochy.

Harmonogram cvičení

  • 1. Absolutní hodnota funkce. Řešení kvadratické rovnice v komplexním oboru. Kuželosečky. Grafy vybraných typů elementárních funkcí. Základní vlastnosti funkcí.
  • 2. Funkce složená a inverzní (cyklometrické funkce, logaritmické funkce). Funkce zadané parametricky. Numerické řešení nelineární rovnice (bisekce, regula falsi).
  • 3. Polynom, znaménko polynomu. Interpolační polynom, Lagrangeův a Newtonův tvar.
  • 4. Racionální funkce, znaménko racionální funkce, rozklad v parciální zlomky.
  • 5. Limita funkce. Derivace funkce (výpočet z definice) a její geometrický význam, procvičení základních vzorců a pravidel pro derivování.
  • 6. Derivace složené funkce. Procvičování základních vzorců a pravidel pro derivování. Numerické derivování.
  • 7. Derivace vyšších řádů. Taylorova věta. L` Hospitalovo pravidlo. Řešení nelineární rovnice (metoda tečen a sečen).
  • 8. Test I. Asymptoty grafu funkce. Průběh funkce.
  • 9. Základní operace s maticemi. Elementární úpravy matice, hodnost matice, řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou. Numerické řešení soustav lineárních algebraických rovnic (výběr hlavního prvku, LU rozklad).
  • 10. Výpočet determinantů užitím Laplaceova rozvoje a pravidel pro počítání s determinanty. Výpočet inverzní matice pro matice 2. a 3. řádu Jordanovou metodou. Iterační metody řešení soustav (Jacobiova, Gaussova-Seidelova).
  • 11. Test II. Maticové rovnice. Řešení přeurčených soustav lineárních algebraických rovnic metodou nejmenších čtverců. Vlastní čísla a vektory matice.
  • 12. Použití skalárního a vektorového součinu při řešení úloh analytické geometrie v prostoru.
  • 13. Smíšený součin. Zápočty.
Základní znalosti z matematiky v rozsahu střední školy. Grafy základních elementárních funkcí (mocniny a odmocniny, kvadratická funkce, přímá a nepřímá úměra, absolutní hodnota, goniometrické funkce) a základní vlastnosti těchto funkcí. Umět provádět úpravy algebraických výrazů. Znát pojem geometrického vektoru a základy analytické geometrie v rovině. Umět určovat typy a základní prvky kuželoseček, kreslit jejich grafy.

Základní literatura předmětu

BUDÍNSKÝ, B. - CHARVÁT, J.: Matematika I, Praha, SNTL, 1987
STEIN, S. K: Calculus and analytic geometry, New York, 1989
LARSON, R.- HOSTETLER, R.P.- EDWARDS, B.H.: Calculus (with Analytic Geometry), Brooks Cole, 2005
CHAPRA, C.S. - CANALE, P.R.: Numerical Methods for Engineers, New York: McGraw-Hill Education, 2015

Doporučená literatura ke studiu předmětu

Hinterleitner, Irena a Přibyl, Oto: Matematika 1 Vybrané kapitoly z numerických výpočtů, FAST VUT v Brně, 2017
NOVOTNÝ, J.: Základy lineární algebry, CERM, 2004
DLOUHÝ, O., TRYHUK, V.: Diferenciální počet I, CERM, 2009
DANĚČEK, J. a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky I, CERM, 2003
TRYHUK, V. - DLOUHÝ, O.: Modul GA01_M01 studijních opor předmětu GA01, FAST VUT, Brno, 2004
kolektiv: Elektronické studijní opory, FAST VUT, 2004