English

Katalog předmětů

Identifikace

KódGA05
NázevMatematika III
Course nameMathematics III

Zařazení

Zařazení ve studijních programech

Rozsah výuky

Přednášky2 [hodiny/týden], nepovinná
Cvičení2 [hodiny/týden], povinná

Zabezpečení výuky

ÚstavÚstav matematiky a deskriptivní geometrie
GarantJosef Diblík

Obsahové informace

Student se naučí řešit dvojné a trojné integrály pomocí Fubiniových vět a standardních transformací. Zvládne výpočet jednoduchých křivkových integrálů ve skalárním i vektorovém poli. Naučí se analyticky řešit diferenciální rovnice prvního řádu (separovanou, lineární, homogenní, exaktní). Zvládne kalkul řešení nehomogenní lineární DR n-tého řádu se speciální pravou stranou i obecnou metodu variace konstant.
Dvojný a trojný integrál, základní vlastnosti a výpočet. Transformace dvojného a trojného integrálu a jejich aplikace.
Křivkový integrál 1.a 2.druhu, základní vlastnosti a výpočet. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Greenova věta.
Obyčejné diferenciální rovnice (DR) prvního řádu, existence a jednoznačnost řešení. DR se separovanými proměnnými, homogenní, lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie, obálka soustavy křivek. Lineární DR n-tého řádu, obecné řešení, základní vlastnosti řešení. Lineární DR s konstantními koeficienty.

Harmonogram přednášky

  • 1. Definice dvojného (trojného) integrálu, jeho základní vlastnosti. Výpočet dvojného integrálu.
  • 2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu.
  • 3. Výpočet a transformace trojného integrálu.
  • 4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu.
  • 5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace).
  • 6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), křivkový integrál ve vektorovém poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet).
  • 7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace.
  • 8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti.
  • 9. Diferenciální rovnice (dále DR), základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení DR y´= f(x,y). DR prvního řádu - separovaná, homogenní.
  • 10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie.
  • 11. Lineární DR n-tého řádu (dále LDR n-tého řádu), lineární nezávislost řešení, wronskián, struktura řešení.
  • 12. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
  • 13. Dokončení přednášky. Metoda variace konstant.

Harmonogram cvičení

  • 1. Základní vlastnosti dvojného (trojného) integrálu. Výpočet dvojného integrálu.
  • 2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu.
  • 3. Výpočet a transformace trojného integrálu.
  • 4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu.
  • 5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace).
  • 6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), výpočet křivkového integrálu ve vektorovém poli.
  • 7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace.
  • 8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti.
  • 9. Diferenciální rovnice (dále DR), DR prvního řádu - separovaná, homogenní.
  • 10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie.
  • 11. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty.
  • 12. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
  • 13. Metoda variace konstant. Zápočty.
Ovládat elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné a více reálných proměnných (derivace, parciální derivace, limita a spojitost, grafy fukcí).
Umět řešit integrály funkce jedné reálné proměnné, znát jejich základní aplikace.

Základní literatura předmětu

STEIN, S. K.: Calculus and analytic geometry, New York, 1989
BUDÍNSKÝ, B. - CHARVÁT, J.: Matematika I, SNTL, Praha, 1987
BUDÍNSKÝ, B. - CHARVÁT, J.: Matematika II, SNTL, Praha, 1990

Doporučená literatura ke studiu předmětu

DANĚČEK, J., DLOUHÝ, O, PŘIBYL, O: Modul 1 Dvojný a trojný integrál, CERM Brno, 2006
DIBLÍK, J., PŘIBYL,O.: Obyčejné diferenciální rovnice, CERM Brno, 2004
Čermáková, H. a spol.: Sbírka příkladů z matematiky II, Stavební fakulta VUT Brno, CERM, 1994
Prudilová, K. a spol.: Sbírka příkladů z matematiky III, Stavební fakulta VUT Brno, CERM, 2001
DANĚČEK, J., DLOUHÝ, O, PŘIBYL, O: Modul 2 Křivkové integrály, CERM Brno, 2006
Kolektiv: Elektronické studijní opory, FAST VUT Brno, 2004
KOUTKOVÁ, H., PRUDILOVÁ, K.: Sbírka příkladů z matematiky III, Modul BA02_M05 Dvojný, trojný a křivkový integrál, FAST VUT, 2007