English

Katalog předmětů

Identifikace

KódBA01
NázevMatematika I
Course nameMathematics I

Zařazení

Zařazení ve studijních programech

Rozsah výuky

Přednášky4 [hodiny/týden], nepovinná
Cvičení4 [hodiny/týden], povinná

Zabezpečení výuky

ÚstavÚstav matematiky a deskriptivní geometrie
GarantOldřich Dlouhý

Obsahové informace

Student pochopí základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Zvládne kalkul derivování a naučí se řešit úlohu průběhu funkce.
Zvládne počítání s maticemi, elementární úpravy a vyčíslení determinantů, řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (Gaussovou eliminační metodou, Cramerovým pravidlem a užitím inverzní matice). Seznámí se s užitím vektorového počtu v řešení úloh analytické geometrie v prostoru.
Zvládne principy integrování elementárních funkcí a počítání některých aplikací určitého integrálu. Zvládne parciální derivování funkcí více proměnných. Pochopí pojem a geometrickou interpretaci totálního diferenciálu funkce. Naučí se určovat lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných. Seznámí se s pojmem a výpočtem směrové derivace funkce více proměnných.
Lineární algebra (základy maticového počtu, hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, inverze matic, determinanty a jejich aplikace). Vlastní čísla a vlastní vektory matice.
Základy vektorového počtu. Lineární prostory.
Analytická geometrie (skalární, vektorový a smíšený součin vektorů, afinní a metrické úlohy pro lineární útvary v E3).
Reálná funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita a spojitost funkce. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, základní věty o derivacích, derivace vyšších řádů, diferenciály funkce, Taylorův rozvoj funkce, průběh funkce.
Primitivní funkce, neurčitý integrál, jeho vlastnosti a metody výpočtu. Newtonův integrál, jeho vlastnosti a výpočet. Definice Riemannova integrálu. Aplikace integrálního počtu v geometrii a ve fyzice - obsah rovinného obrazce, délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa, statické momenty a těžiště.
Funkce dvou a více proměnných. Limita a spojitost, parciální derivace, implicitní funkce, totální diferenciál, Taylorův rozvoj, extrémy funkcí - lokální a vázané, absolutní extrémy; derivace ve směru, gradient.

Harmonogram přednášky

  • 1. P1: Základy maticového počtu, elementární úpravy matice, hodnost matice. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou. P2: Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. Maticové rovnice. Determinanty druhého řádu. Definice determinantů vyšších řádů pomocí Laplaceova rozvoje.
  • 2. P3: Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic. Reálný lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru. Lineární prostory aritmetických a geometrických vektorů. P4: Vlastní čísla a vektory matice. Souřadnice vektoru. Skalární a vektorový součin vektorů, počítání v souřadnicích.
  • 3. P5: Smíšený součin vektorů. Rovina v E3. Přímka v E3, úlohy polohy. P6: Úlohy metrické v E3. Plochy v E3.
  • 4. P7: Reálná funkce jedné reálné proměnné, explicitní a parametrické zadání funkce. Složená a inverzní funkce. P8: Elementární funkce, cyklometrické funkce. Hyperbolické a hyperbolometrické funkce.
  • 5. P9: Polynom a jeho základní kořenové vlastnosti, rozklad polynomu v reálném oboru. Racionální funkce. P10: Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce, základní věty.
  • 6. P11: Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, pravidla pro derivování. Derivace složené a inverzní funkce. P12: Diferenciál funkce. Rolleova a Lagrangeova věta. Derivace vyšších řádů, diferenciály vyšších řádů.
  • 7. P13: Taylorova věta. L`Hospitalovo pravidlo. Asymptoty grafu funkce. P14: Geometrický význam první a druhé derivace funkce pro určování průběhu funkce. Primitivní funkce, neurčitý integrál a jejich vlastnosti.
  • 8. P15: Integrace metodou per partes a substituční. Integrace racionální funkce (bez rekurentního vzorce), vztahy pro integraci goniometrických funkcí. P16: Integrace goniometrických funkcí. Integrace iracionálních funkcí.
  • 9. P17: Newtonův a Riemannův integrál a jejich vlastnosti. Metoda per partes a substituční pro určitý integrál. P18: Geometrické aplikace určitého integrálu. Technické aplikace určitého integrálu.
  • 10. P19: Technické aplikace určitého integrálu. Reálná funkce více proměnných. Základní pojmy, složená funkce. P20: Limity posloupností, limita a spojitost funkce 2 proměnných. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů.
  • 11. P21: Totální diferenciál, totální diferenciály vyšších řádů. Taylorův polynom. P22: Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Implicitní funkce jedné proměnné.
  • 12. P23: Implicitní funkce dvou proměnných. Některé věty o spojitých funkcích, vázané a absolutní extrémy. P24: Tečna a normálová rovina prostorové křivky. Tečná rovina a normála plochy.
  • 13. P25: Skalární pole, derivace ve směru, gradient. Dokončení látky. P26: Shrnutí látky semestru, opakování, příprava ke zkoušce.

Harmonogram cvičení

  • 1. C1: Absolutní hodnota, řešení nerovnic. Řešení kvadratické rovnice v komplexním oboru. Kuželosečky. Grafy vybraných funkcí. C2: Elementární úpravy matice, hodnost matice. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou.
  • 2. C3: Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. Maticové rovnice. Determinanty. Rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce. C4: Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic. Vlastní čísla a vektory matice.
  • 3. C5: Lineární závislost a nezávislost aritmetických vektorů. Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů, počítání v souřadnicích. C6: Užití skalárního, vektorového a smíšeného součinu v úlohách o přímkách a rovinách.
  • 4. C7: Definiční obory a grafy vybraných typů elementárních funkcí. Základní vlastnosti funkcí. Funkce složená. Funkce zadané parametricky. C8: Inverzní funkce. Cyklometrické funkce (grafy, funkční hodnoty, inverze).
  • 5. C9: Polynom, rozklad polynomu v reálném oboru. Znaménko polynomu. Racionální funkce, znaménko racionální funkce. C10: Rozklad racionální funkce v parciální zlomky. Limita posloupnosti. Limita a spojitost funkce.
  • 6. C11: Limita a spojitost funkce. Derivace, pravidla pro derivování, derivace elementárních funkcí, derivace složené funkce. C12: Derivace složené funkce. Geometrický význam derivace. Rovnice tečny a normály ke grafu funkce.
  • 7. C13: Derivace vyšších řádů. Diferenciál. Výpočet diferenciálů vyšších řádů. Taylorův polynom. C14: L` Hospitalovo pravidlo. Průběh funkce.
  • 8. C15: Průběh funkce. Neurčitý integrál. Integrace úpravou. C16: Integrace metodou substituce.
  • 9. C17: Integrace metodou per-partes. Integrace racionální funkce. C18: Integrace iracionálních funkcí. Integrace goniometrických funkcí.
  • 10. C19: Určitý integrál a integrační metody pro určitý integrál. C20: Kontrolní test. Geometrické aplikace určitého integrálu.
  • 11. C21: Geometrické aplikace určitého integrálu. Technické aplikace určitého integrálu. C22: Definiční obory, parciální derivace. Výpočet parciálních derivací. Diferenciál funkce.
  • 12. C23: Taylorův polynom (včetně diferenciálů vyšších řádů). Lokální extrémy funkce dvou proměnných. C24: Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů. Implicitní funkce jedné proměnné (tečna a normála grafu funkce dané implicitně).
  • 13. C25: Tečná rovina a normála ke grafu funkce dvou proměnných dané implicitně. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. C26: Dokončení látky. Zápočty.
Základní znalosti z matematiky v rozsahu střední školy. Grafy základních elementárních funkcí (mocniny a odmocniny, kvadratická funkce, přímá a nepřímá úměra, absolutní hodnota, goniometrické funkce) a základní vlastnosti těchto funkcí. Umět provádět úpravy algebraických výrazů.
Znát pojem geometrického vektoru a základy analytické geometrie ve třírozměrném euklidovském prostoru (parametrické rovnice přímky, obecná rovnice roviny, skalární součin vektorů a jeho použití při řešení metrických a polohových úloh). Umět určovat typy a základní prvky kuželoseček, kreslit jejich grafy.

Základní literatura předmětu

BUDÍNSKÝ, B. - CHARVÁT, J.: Matematika I, Praha, SNTL, 1987
STEIN, S. K.: Calculus and analytic geometry, New York, 1989
LANG, S.: Calculus of several variables, Springer Verlag, New York, 1988

Doporučená literatura ke studiu předmětu

DANĚČEK, J., DLOUHÝ, O.: Integrální počet I, CERM Brno, 2003
NOVOTNÝ, J.: Základy lineární algebry, CERM, 2004
DLOUHÝ, O.- TRYHUK, V.: Diferenciální počet I, CERM, 2004
TRYHUK,V.- DLOUHÝ, O.: Diferenciální počet II, CERM, 2004
J. Daněček a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky I, Akademické nakladatelství CERM Brno, 2003
H. Čermáková a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky II, Akademické nakladatelství CERM, 2003
Kolektiv: Studijní opory předmětu BA01, FAST VUT, Brno, 2004
TRYHUK, V. - DLOUHÝ, O.: Modul GA01_M01 studijních opor předmětu GA01, FAST VUT, Brno, 2004