English

Katalog předmětů

Identifikace

Kód0A2
NázevMatematika (2)
Course nameMathematics (2)

Zařazení

Zařazení ve studijních programech

Rozsah výuky

Přednášky2 [hodiny/týden], nepovinná
Cvičení2 [hodiny/týden], povinná

Zabezpečení výuky

ÚstavÚstav matematiky a deskriptivní geometrie
GarantVáclav Tryhuk

Obsahové informace

Funkce dvou a více proměnných (limita a spojitost, parciální derivace, implicitní funkce, totální diferenciál, Taylorův rozvoj, extrémy funkcí, derivace ve směru, gradient).
Diferenciální rovnice (existence a jednoznačnost řešení pro diferenciální rovnice 1.řádu a soustavy, lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a metody řešení).

Harmonogram přednášky

  • 1. Reálná funkce dvou a více proměnných, funkce složená. Limita a spojitost funkce dvou a více proměnných. Parciální derivace.
  • 2. Parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů funkce dvou (a více) proměnných. Totální diferenciál, totální diferenciály vyšších řádů funkce.
  • 3. Taylorův polynom funkce dvou proměnných. Funkce jedné proměnné daná implicitně. Tečna a normála ke grafu funkce dané implicitně.
  • 4. Funkce dvou proměnných daná implicitně. Věty o spojitých funkcích dvou a více proměnných.
  • 5. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Globální extrémy.
  • Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů pomocí vázaných extrémů. 6. Skalární pole, jeho hladiny. Derivace skalární funkce ve směru, gradient.
  • 7. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.
  • 8. Diferenciální rovnice (dále DR), základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení DR prvního řádu.
  • 9. DR prvního řádu - separovaná, lineární, exaktní DR.
  • 10. Lineární DR n-tého řádu (dále LDR n-tého řádu), lineární nezávislost řešení, wronskián, struktura řešení.
  • 11. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty.
  • 12. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
  • 13. Metoda variace konstant.
  • C1. Definice funkce dvou a tří proměnných, definiční obory a jejich grafické znázornění. Rovnice základních ploch v E3, jejich grafické znázornění s využitím řezů rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami.
  • C2. Limita a spojitost funkce dvou a více proměnných. Parciální derivace.
  • C3. Parciální derivace vyšších řádů funkce dvou (a více) proměnných. C4. Totální diferenciál, výpočet totálních diferenciálů vyšších řádů. Taylorův polynom funkce dvou proměnných.
  • C5. Taylorův polynom funkce dvou proměnných -- dokončení. Funkce jedné proměnné daná implicitně (výpočet druhé derivace). Tečna a normála ke grafu funkce dané implicitně. Kontrolní test.
  • C6. Funkce dvou proměnných daná implicitně (výpočet prvních parciálních derivací, stacionární body).
  • C7. Lokální extrémy explicitní funkce dvou proměnných.
  • Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů pomocí vázaných extrémů. Skalární pole, jeho hladiny.
  • C8. Derivace skalární funkce ve směru, gradient. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce.
  • C9. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.
  • C10. Řešení DR y^(n)=f(x). DR prvního řádu - separovaná, lineární, exaktní.
  • C11. DR prvního řádu - separovaná, lineární, exaktní. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Kontrolní test.
  • C12. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
  • C13. Metoda variace konstant. Zápočty.
Znát základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Ovládat derivování, Taylorův polynom a řešení úlohy průběhu funkce. Znát principy integrování elementárních funkcí. Ovládat integrování elementárních funkcí (integrály racionální funkce, goniometrické substituce, integrály některých iracionálních funkcí).

Základní literatura předmětu

BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J.: Matematika II, SNTL, Praha, 1990
REKTORYS, K. a spol.: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha , 1995
STEIN, S. K.: Calculus and analytic geometry, New York , 1989
TRYHUK,V., DLOUHÝ,O.: Diferenciální počet II, CERM Brno, 2004
DIBLÍK,J., PŘIBYL,O.: Obyčejné diferenciální rovnice, CERM Brno, 2004
LANG, S.: Calculus of several variables, Springer Verlag, New York, 1988

Doporučená literatura ke studiu předmětu

DANĚČEK, J., DLOUHÝ, O.: Integrální počet I, CERM s.r.o., Brno, 2003