10   Závěr

Přesvědčili jsme se o velmi složitém chování jednoduchých nelineárních soustav. Přitom nutnou podmínkou chaotického vývoje systému je přítomnost nelinearity (u jednoduchých lineárních systémů existuje pouze jeden kritický bod) a minimálně trojrozměrný fázový prostor, který umožňuje vytváření podivných atraktorů. V rovině totiž nelze najednou splnit podmínku nestability (rychlého vzájemného vzdalování všech trajektorií s časem) a zároveň omezení pohybu na konečnou část fázového prostoru. Zjistili jsme také, že systém se ani v případě existence nelinearity nemusí chovat chaoticky (limitní cyklus), avšak pravděpodobnost chaotického vývoje roste s velikostí nelineárního členu. Viděli jsme, že i v případě uspořádaného chování mohou existovat oblasti fázového prostoru, které mají složitost fraktálové množiny a oddělují oblasti přitažlivosti jednotlivých limitních cyklů. Fraktálový charakter je tedy významným rysem přítomnosti nelineární složky v systému.

Jedním z hlavních nástrojů pro vyšetřování dynamických systémů je metoda projekce fázového prostoru do množin nižší dimenze. Obecně má patrně každé poznání vlastnost projekce mnoha atributů skutečnosti do menšího počtu údajů přístupných smyslovému a analytickému pochopení. Z použitých projekčních metod je ihned patrné, že závisí na stavu systému, zda projekcí podstatně zkreslíme skutečný vývoj systému. Vzhledem k protínání prostorových trajektorií při projekci do roviny ztrácíme ve skutečnosti vlastnost determinismu (a tím i historie) systému. Z doplňujících vlastností (např. spojitost všech derivací) můžeme pouze v jednoduchých případech odhadnout, která trajektorie vstoupila a vystoupila z daného průsečíku stavů. V případě chaotického chování jsou pak tyto omezené možnosti ješte zhoršeny ztrátou možnosti predikce na základě nestabilního vývoje. Viděli jsme, že v Poicarého mapě chaotického atraktoru je prakticky nemožné určit následné body průniku trajektorie s plochou Poincarého řezu. Význam projektivních zobrazení je znám již dlouho; jeho odrazem je mj. tzv. "teorie katastrof", která se zabývá rovnováhou nelineárních dynamických systémů a s teorií chaosu úzce souvisí. V současnosti probíhá ostrá polemika o filosofickém dopadu zavěrů těchto teorií. Někteří z autorů teorie zobecňují výsledky původně čistě matematické teorie na nejrůznější oblasti výzkumu (i společenskovědné) bez přílišného teoretického zdůvodnění pouze na základě analogií. Jiná část matematické veřejnosti považuje takové zobecnění za neprokázané a zavádějící, i když ho lze do jisté míry omluvit zarážející generičností vlastností modelovaných systémů.