Autor: David Lehký
Ústav stavební mechaniky, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně, Česká republika
e-mail: lehky.d(zavinac)fce.vutbr.cz
Základní informace
Program SENSIT slouží k analýze citlivosti mezi dvěma sledovanými veličinami na základě vyhodnocení míry korelace mezi jejich párovými hodnotami. Program SENSIT vznikl v rámci projektu „Účinné semi-pravděpodobnostní metody při návrhu a posouzení konstrukcí“, kde slouží jako podpůrný software pro další vyvíjené programy. Software byl nicméně navržen univerzálně a lze jej využít i jako samostatný nástroj pro citlivostní analýzu.
V programu SENSIT jsou v aktuální verzi (1.0) implementovány 3 citlivostní metody – korelační míry:
- Pearsonův korelační koeficient;
- Spearmanův koeficient pořadové korelace a
- Kendallův koeficient pořadové korelace.
Pearsonův korelační koeficient [1, 2] je statistický ukazatel síly lineárního vztahu mezi párovými daty studovaných veličin. Je založen na myšlence, že se výběrová kovariance sXY mezi dvěma veličinami X a Y převede na bezrozměrné číslo tak, že se podělí výběrovými směrodatnými odchylkami sX a sY obou veličin.
Pro hodnoty Pearsonova korelačního koeficientu pXY pak platí –1 ≤ pXY ≤ 1. Kladné hodnoty pXY znamenají kladnou lineární korelaci, záporné hodnoty pXY znamenají negativní lineární korelaci, hodnota pXY = 0, že mezi proměnnými neexistuje lineární korelace. Čím je hodnota blíže 1 nebo –1, tím silnější lineární korelace je. Pearsonův korelační koeficient je citlivý na zešikmení rozložení dat a na odlehlé hodnoty.
Spearmanův koeficient pořadové korelace představuje neparametrickou míru korelace mezi pořadími dvou studovaných veličin [2, 3]. Hodnotí, jak dobře lze vztah mezi dvěma veličinami popsat pomocí monotónní funkce. Spearmanova korelace mezi dvěma proměnnými X a Y se rovná Pearsonově korelaci mezi hodnotami pořadí těchto dvou veličin; zatímco Pearsonova korelace hodnotí lineární vztahy, Spearmanova korelace hodnotí monotónní vztahy (lineární i nelineární). Pokud se hodnoty dat neopakují, nastane dokonalá Spearmanova korelace +1 nebo –1, když je každá z veličin dokonalou monotónní funkcí té druhé. Díky tomu, že Spearmanův korelační koeficient pracuje s pořadími namísto konkrétních hodnot, je v porovnání s Pearsonovým koeficientem robustnější (např. na šum v experimentálních datech) a nezávislý na rozdělení statistických souborů – není citlivý na odlehlé hodnoty.
Kendallův koeficient pořadové korelace, nebo také Kendallovo τ, představuje podobně jako Spearmanův koeficient míru korelace mezi pořadími hodnot sledovaných veličin [4, 5]. Kendallův korelační koeficient je nezávislý na rozdělení statistických souborů a určuje míru korelace mezi veličinami na základě analýzy shody a neshody mezi dvojicemi hodnot pořadí sledovaných veličin. Zohledňuje tedy podobnost pořadí. Oproti Spearmanově koeficientu se hodí pro případy malých statistických souborů a souborů s mnoha shodnými pořadími.
Detailní popis jednotlivých metod lze najít v článcích [1-5] a manuálu aplikace [6].
Práce s programem
Grafické prostředí
Program SENSIT je spustitelný na 64-bitovém operačním systému Windows (8.1, 10, 11). Jeho základní uživatelské prostředí je patrné z Obr. 1. Provedení citlivostní analýzy zahrnuje následující kroky: (i) načtení dat, (ii) volbu citlivostní metody a spuštění výbočtu, (iii) číselné a grafické zobrazení výsledků a (iv) případný export výsledků do externího souboru.
Obr. 1: Hlavní okno programu SENSIT
Načtení dat
Program SENSIT provádí citlivostní analýzu s využitím externích dat – experimentálních či numericky simulovaných. Uživatel má na výběr dvě možnosti: 1) Může načíst vstupní a výstupní data ze dvou samostatných textových souborů nebo 2) může pracovat se souborem ze spolehlivostního programu FReET (*.FRE) [7]. Díky implementaci statistického software FReET je možné rozšířit funkcionalitu programu SENSIT o citlivostní analýzu libovolných funkcí a výpočetních programů. K tomu lze využít vestavěný editor rovnic či možnost propojení externích progamů pomocí dynamicky připojené knihovny (DLL).
Obr. 2: Načtení vstupních a výstupních hodnot z textových souborů (nahoře) či ze souboru programu FReET (dole)
Výběr korelační míry a spuštění výpočtu
Po načtení dat je třeba přistoupit k volbě korelační míry, která se pro výpočet citlivosti mezi vstupními a výstupními veličinami použije, viz výše. Vlastní výpočet se spustí tlačítkem Calculate.
Obr. 3: Výběr korelační míry a spuštění výpočtu
Zobrazení výsledků
Výsledné citlivostní koeficienty se pro jednotlivé kombinace vstupů a výstupů zobrazí ve formě tabulky/matice, viz ukázka na Obr. 4. Statistickou závislost mezi vybranou vstupní a výstupní veličinou lze zobrazit vizuálně pomocí grafu pod tabulkou s výsledky. Graf vykresluje dvojice hodnot ve formě bodů v prostoru dvou sledovaných veličin. Konkrétní zobrazená kombinace veličin odpovídá označené buňce v tabulce výsledků. V grafu je možné zobrazit buď přímo původní hodnoty (Values) nebo pořadí hodnot (Orders), kterých se využívá při výpočtu pořadové korelace dle Spearmana a Kendalla.
Obr. 4: Ukázka tabulky/matice výsledných citlivostních koeficientů a grafické zobrazení závislosti
Export výsledků
Získané výsledky citlivostních součinitelů je možné exportovat do souboru *.CSV (hodnoty oddělené středníky, Obr. 5). Ten je možné následně otevřít v libovolném tabulkovém procesoru (MS Excel, Numbers atd.). Obsahem exportu jsou kompletní tabulky s výsledky citlivostí pro všechny kombinace vstupních a výstupních veličin a pro všechny tři implementované metody.
Obr. 5: Ukázka exportovaných výsledků zobrazených v MS Excel
Detailní popis funkcí a práce s programem je uveden v uživatelském manuálu aplikace [6].
Verifikace a aplikace
Funkčnost software SENSIT a správnost získaných výsledků byla verifikována na sadě vzorových příkladů. Výsledky byly srovnány s předem známými hodnotami citlivostí a s výsledky stanovenými pomocí dalších software, a to spolehlivostní software FReET [7], Free Statistics Software Calculator [8, 9] či MS Excel. Výsledky potvrdily funkčnost a správnost software. Podorbnosti o testování jsou uvedeny v uživatelském manuálu aplikace [6].
Software SENSIT byl primárně využit v rámci projektu TAČR, kde sloužil jako podpůrný software pro další vyvíjené softwary SEMIP a PREDIKT-C. Ve spojení s těmito programy najde využití při identifikaci významnosti parametrů analyzovaného modelu konstrukce a následné redukci prostoru vstupních náhodných veličin problému. To bývá účinné zejména při tvorbě náhradních modelů, analýze spolehlivosti a životnosti či při spolehlivostní optimalizaci.
Poděkování
Program SENSIT vznikl za podpory projektu č. TH04010138 „Účinné semi-pravděpodobnostní metody při návrhu a posouzení konstrukcí“ podporovaného Technologickou agenturou České republiky (TAČR) v rámci Programu na podporu aplikovaného výzkumu a experimentálního vývoje EPSILON.
Literatura
[1] Teplý, B., Novák, D. (1999). Spolehlivost stavebních konstrukcí. Akademické nakladatelství CERM, s.r.o. Brno.
[2] Oyeka, I.C.A., Nwankwo Chike, H. (2014). Ties Adjusted Rank Correlation Coefficient. IOSR Journal of Mathematics,10, 9–17.
[3] Spearman, C. (1904). The proof and measurement of correlation between two things, American Journal of Psychology, 15, 72–101.
[4] Kendall, M.G. (1938). A new measure of rank correlation, Biometrika. 30, 81–93.
[5] Kendall, M.G. (1970). Rank Correlation Methods (4th Edition). London: Griffin.
[6] Lehký, D. (2021). SENSIT - software pro citlivostní analýzu, verze 1.0. Teorie a uživatelský manuál, Vysoké učení technické v Brně.
[7] Novák, D., Vořechovský, M., Teplý, B. FReET: Software for the statistical and reliability analysis of engineering problems and FReET-D: Degradation module. Advances in Engineering Software, 2014, URL.
[8] Wessa P. (2017). Spearman Rank Correlation (v1.0.3) in Free Statistics Software (v1.2.1), Office for Research Development and Education, URL.
[9] Wessa, P. (2017). Kendall tau Rank Correlation (v1.0.13) in Free Statistics Software (v1.2.1), Office for Research Development and Education, URL.
Dostupnost
Pro informace o dostupnosti programu SENSIT kontaktujte autora.