přednáška 2

23.02.2004 a 01.03.2004

 

Minimální poloměr směrového oblouku

 

1)   minimální poloměr otáčení – geometrie vozidla

Absolutní minimum použitelného poloměru (za předpokladu průjezdu obloukem najednou bez vracení a za předpokladu dodržení trajektorie nevybočující od osy nebo hrany komunikace) je dáno vlastnostmi vozidla. V technické dokumentaci lze většinou najít vnější obrysový průměr otáčení. Pro vozidla stejné kategorie jsou si tyto hodnoty blízké (např. Škoda Fabia 10,48, Škoda Octavia 10,8, Ford Focus 10,9). Tomu odpovídá poloměr otáčení na vnitřní hraně asi 3,4 m, v ose asi 4,4 m. Velikost tohoto minimálního poloměru závisí především na rozvoru náprav, rejdovém úhlu (maximální úhel natočení kol řiditelné nápravy od polohy pro přímou jízdu) a dále na rozměrech a převisech karoserie. Tento minimální poloměr najde uplatnění pouze při návrhu neveřejných obslužných komunikací jako např.příjezd do garáže na vlastním pozemku a při určování rozměrů manipulačních ploch na parkovištích. Nejmenší hodnoty, které se vyskytují v normových předpisech jsou v ČSN 73 6102 Projektování křižovatek na silničních komunikacích v čl. 6.9.1: … Nejmenší poloměr vnitřní hrany jízdních pruhů u křižovatek silnic a místních komunikací je 12 m. Nejmenší doporučený poloměr u komunikací obslužných je 9 m, přípustný je 6 m …

U existujících komunikací lze najít na křižovatkách i poloměry obrubníků v hodnotách podstatně nižších, které pak už mají charakter zaoblení a nikoliv vymezení jízdní dráhy (např. u budovy fakulty křižovatka Veveří – Resslova či Veveří – Rybkova). Je nutné ale k takovému místu přistupovat s vědomím, že plocha, kterou potřebuje vozidlo k pohybu bude výrazně odlišná.

Pohyb po takto malých poloměrech je možný jen při extrémně malých rychlostech. Např. 12 metrová hodnota poloměru podle ČSN 73 6102 odpovídá návrhové rychlosti 20 km/h při příčném sklonu 2%

 

Na pozemních komunikacích mimo křižovatek se přirozeně požaduje možnost pohybovat se konstantní rychlostí – návrhová rychlost tedy bude platit pro všechny směrové oblouky stejná. Vhodná velikost poloměru má zajistit při dané rychlosti a příčném sklonu bezpečnost vozidla. Ve směrovém oblouku může dojít:

a)      k převržení vozidla

b)      k usmyknutí vozidla

 

Na vozidlo, které se pohybuje ve směrovém oblouk působí tyto síly:

·        tíha vozidla

·        odstředivá síla

Ve směrovém oblouku se běžně navrhuje dostředný příčný sklon, který je běžně udáván v procentech. Na obrázku je tento sklon uveden jako úhel a měřený od vodorovné roviny. Tíhová síla G je orientována svisle, odstředivá síla je orientovaná vodorovně. Pro další úvahy rozložíme podle obrázku tyto síly do směru rovnoběžného s povrchem vozovky a do směru kolmého k povrchu vozovky. Ve výpočetním modelu předpokládáme, že síly působí v těžišti vozidla. Vozidlo je popsáno svou šířkou (rozchod b) a výškou těžiště h. Minimální poloměr bude při pevně daných rozměrech vozidla závislý na návrhové rychlosti a příčném sklonu vozovky.

 

2)   minimální poloměr otáčení- bezpečnost proti převržení

Bezpečnost vozidla proti převržení vozidla se posuzuje s použitím momentů síly. Kritický stav nastává ve chvíli, kdy součet všech momentů sil vzhledem k bodu otáčení (na obrázku je označen O) je nulový. Momentová rovnice má tento tvar:

Ve vztazích nefiguruje ani hmotnost ani tíha. Poloměr není závislý na hmotnosti vozidla

           Nyní vynásobíme čitatele i jmenovatele

potom, aby se vozidlo nepřevrátilo, požadujeme

Do hodnot b a h dosadíme šířku a výšku těžiště zkoumaného vozidla. Zjistíme, že hledaný minimální poloměr závisí na návrhové rychlosti a na příčném sklonu vozovky.

V tomto vztahu je uvažována rychlost [m/s], pro porovnávání se vztahy podle odst 3) a 4) je nutno dodat přepočet na [km/h] a nezapomenout na gravitační konstantu g.

3)   minimální poloměr otáčení- bezpečnost proti usmyknutí

Bezpečnost vozidla proti usmyknutí se posuzuje s posouzením sil rovnoběžných s povrchem vozovky. Kritický stav nastává ve chvíli, kdy je součet sil působících ve směru ven z oblouku a ve směru opačném nulový. Směrem z oblouku působí složka odstředivé síly rovnoběžná s povrchem. V dostředném sklonu působí především třecí síla (závislá přímo na silách působících kolmo k povrchu a na koeficientu tření f a tíhová složka rovnoběžná s povrchem. Takto vypadá rovnice silové rovnováhy:

         vydělíme cosa a změníme na nerovnici

 

 

 

 

po dosazení

 

 

dostaneme

Minimální poloměr závisí na rychlosti, na úhlu  (resp. na příčném sklonu) a na koeficientu tření.

Protože hodnota f*tga je relativně malá (asi do 0,05), lze ji zanedbat. Pak vypadá použitelný vzorec takto (po dosazení převodu jednotek u návrhové rychlosti):

Minimální poloměr je závislý na návrhové rychlosti vn a na příčném sklonu p%. Záporné znaménko se použije v případě, že sklon není dostředný, ale směřuje ven z oblouku.

 

Po dosazení reálných hodnot rozměrů a reálných koeficientů tření (uvažuje se poměrně nízké f přibližně 0,2) se prokáže, že podmínka pro usmyknutí je přísnější. Potvrzuje to i běžná zkušenost, dostat vozidlo do smyku je snazší a běžnější než převrátit vozidlo.

 

4)   minimální poloměr směrového oblouku – bezpečnost podle ČSN 73 6101

ČSN 73 6101 vychází ze vztahu pro bezpečnost proti usmyknutí, který je zjednodušen do podoby

V současnosti se používá const.=0,3, tedy

viz ČSN 73 6101, příloha C, str. 77

Pro projekční potřeby jsou příslušné minimální poloměry uvedeny v tabulce 11, str. 23, která je zde uvedena:

 

Nejmenší dovolené poloměry směrových kružnicových oblouků ve vztahu k návrhové rychlosti a k dostřednému sklonu podle ČSN 73 6101

Návrhová

rychlost

v km/h

Poloměr kružnicového oblouku v m

při dostředném sklonu vozovky v %

bez

dostřed.

sklonu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

120

2200

1750

1450

1250

1100

975

875

800

725

-

-

3500
(3800)

100

1500

1200

1000

875

750

675

600

550

500

-

-

3500*) 2500
(2700)

80

1000

775

650

550

500

450

400

350

325

-

-

3500*)  1500
(1700)

70

750

600

500

425

375

330

300

270

250

-

-

1500

60

550

450

375

325

270

240

220

200

180

170

-

1500

50

375

300

250

220

190

170

150

140

125

120

110

1500

*)    Platí jen na dálnicích a rychlostních silnicích
(  )  Platí pro základní sklon 2,5 %
      Hodnoty pro větve křižovatek jsou uvedeny v ČSN 73 6102.

Hodnoty vpravo od červené čáry nutno přezkoušet z hlediska rozhledu pro zastavení

Hodnoty vpravo od černé a dále červené čáry je nutno přezkoušet z hlediska výsledných sklonů

 

Nutno dodat, že koeficient tření nabývá hodnot ve velikém rozsahu a pro extrémní hodnoty není zajištěno, že k usmyknutí nedojde. V takových případech platí ustanovení silničních předpisů o přizpůsobení jízdy podmínkám.

Při porovnání minimálních poloměrů pro převržení, usmyknutí a podle ČSN se potvrzuje výše uvedený předpoklad o tom, že bezpečnost proti usmyknutí uvažující velmi nízké koeficienty tření má přísnější požadavky (požaduje se větší minimální poloměr) než bezpečnost proti převržení při běžných rozměrech a poloze těžiště. Dále se ukazuje, že ČSN patrně uvažuje s tím, že při menších poloměrech se vozidlo pohybuje nižší rychlostí (při stejné návrhové rychlosti). Pokud porovnáváme bezpečnost proti usmyknutí s ČSN (a předpokládáme neměnnou rychlost vn), dojdeme k závěru, že pro větší dostředné sklony (a menší poloměry) uvažuje norma rostoucí koeficient tření. Věrohodnější je úvaha o nižší rychlosti (poněkud však zamlžuje koncept návrhové rychlosti).

 

Koeficient tření

Z porovnání minimálních poloměrů pro převržení, usmyknutí a podle ČSN je patrné, že ČSN předpokládá velmi nízké koeficienty tření kolem 0,1. To odpovídá přibližně tření mezi pneumatikou a ledovým povrchem.

Nejnižší tření je v případě ledového povrchu politého vodou při teplotách kolem 0 stupňů Celsia – méně než 0,05.

Zasněžené vozovce odpovídají hodnoty kolem 0,1 až 0,3.

Mokrá vozovka a pneumatika má koeficient tření kolem 0,5. Hodnoty kolem 0,4 jsou již nevyhovující. Nové kvalitní povrchy mohou mít až 0,6.

Tření mezi suchou vozovkou a moderní pneumatikou je kolem 0,8 až 1,0.

Křivost a její průběh v obloucích

 

Křivost je inverzní hodnota k poloměru.

Pro kružnici má tedy křivost konstantní hodnotu (poloměr je konstantní) po celé délce kružnice. Na přímce má křivost nulovou hodnotu

platí tedy, že:

protože

Graf křivosti směrového motivu tečna – kružnice – tečna je nevýhodný. V bodě dotyku vzniká tzv. „příčný ráz“, za předpokladu, že vozidlo je pevně vedeno (proto je příčný ráz známý u kolejových vozidel, pokud je oblouk bez přechodnice nebo je špatně provedený). Silniční vozidla nejsou pevně vedená, příčný ráz u nich nevzniká, ale je to za tu cenu, že se mohou odchylovat od dráhy určené vytyčenou naprojektovanou křivkou. pokud by vozidlo mělo dodržet trajektorii tečna – kružnice – tečna, musel by řidič při konstantní nenulové rychlosti nastavit poloměr dráhy na požadovanou kružnici (otočit volantem do konečné polohy) za nulový čas. To není možné. Jinou možností je změnit v bodě dotyku rychlost na nulovou, nastavit poloměr a pokračovat v jízdě. To není rozumné a užitečné.

Běžný způsob řešení tohoto rozporu je odchýlit se trajektorií od vytyčené dráhy. Při malých odchylkách to neznamená nic nebezpečného, při velikých (v závislosti na poloměru, rychlosti, rychlosti změny křivosti, šířce jízdního pruhu) to může vést ke kolizi s vozidly v jiném pruhu nebo k vyjetí mimo vozovku). Zásadní způsob, jak se vypořádat s tímto problémem je použít oblouk s přechodnicí.

 

Přechodnice

Def.: Přechodnice je křivka, která plynule mění svou křivost. V optimálním případě je její křivost na konci a na začátku shodná s křivostí směrového prvku, na který navazuje (u kružnicových oblouků s přechodnicemi je to nulová křivost na začátku v místě připojení na přímku a křivost o velikosti 1/R na konci v místě připojení na kružnici.

V silničním stavitelství se běžně používá jako přechodnice klotoida. Má lineární závislost křivosti na délce (na vzdálenosti od začátku klotoidy). Zde je uvedený graf křivosti oblouku kružnicového s klotoidickými přechodnicemi. Proti čistě kružnicovému oblouku má příznivější průběh a trajektorie se s ním může shodovat s dostatečnou přesností. V obrázku je rovněž zakreslena jedna z možných volantových křivek (tzv. volantová křivka je dráha opsaná vozidlem, které řídí v reálných podmínkách skutečný řidič. Není nijak přesně definovaná a liší se případ od případu).

Kromě klotoidy se jako přechodnice mohou používat následující křivky:

Klotoida

Def.: Klotoida je nekonečně dlouhá křivka, která plynule mění svou křivost a to lineárně.

Definiční popis lze zapsat vztahem:

 

 

Ten poslední výraz je používaný jako základní rovnice klotoidy.

 

Klotoida je tedy definovaná základní rovnicí klotoidy:

Tato rovnice vyjadřuje skutečnost, že křivost klotoidy  v bodě vzdáleném od začátku klotoidy o l je přímo úměrná právě délce l (tedy křivost je lineárně závislá na délce). Jako konstanta se volí druhá mocnina parametru klotoidy A :

 

Základní rovnice klotoidy se píše ve tvaru:

Parametr klotoidy A udává „velikost klotoidy“. Klotoida popsaná tímto parametrem je nekonečně dlouhá křivka, která se blíží v nekonečné délce bodu o souřadnicích

 .

Poloměr R je poloměr oskulační kružnice této klotoidy v bodě, který je od začátku klotoidy vzdálený o hodnotu l. Základní rovnice platí pro libovolný bod klotoidy.

Často se hovoří o klotoidě jako o křivce konečné délky, respektive pro praktické použití se míní klotoidou pouze její „užitečně použitelná“ část, která je daná „délkou“ l nebo „koncovým poloměrem“ R při daném parametru A. Tomu přísluší také koncový úhel klotoidy t a vytyčovací hodnoty klotoidy, jak jsou uvedeny na obrázku a jak je lze zjistit výpočtem anebo v klotoidických tabulkách.